ちょっと、そこ！整理者のサプライヤーとして、私はしばしば、整流子に基づいて2つの要素が通勤するかどうかを把握する方法について尋ねられます。それで、私はこのトピックに関するいくつかの洞察を共有していると思いました。
まず、整流子が何であるかについて話しましょう。数学と物理学では、2つの要素（a）と（b）の整流子は（[a、b] = ab -ba）と定義されます。これは、2つの要素間の操作順序の関係を理解するのに役立つ非常に便利な概念です。
（[a、b] = 0）の場合、（a）および（b）が通勤すると言います。これは、（a）および（b）を掛ける順序が重要ではないことを意味します。 （ab）は（ba）と同じです。一方、（[a、b] \ neq0）の場合、（a）および（b）は通勤せず、乗算の順序は問題ではありません。
それでは、整流子に基づいて2つの要素が通勤するかどうかを実際にどのように判断しますか？まあ、それは私たちが扱っている要素のタイプに依存します。いくつかの異なるケースを見てみましょう。
マトリックス
マトリックスは、整流子を使用する最も一般的なタイプの要素の1つです。 2つのマトリックス（a）と（b）があるとします。彼らが通勤するかどうかを調べるために、comutator（[a、b] = ab -ba）を単純に計算します。
簡単な例を見てみましょう。 （a = \ begin {pmatrix} 1＆0 \ 0＆2 \ end {pmatrix}）と（b = \ begin {pmatrix} 3＆0 \ 0＆4 \ end {pmatrix}）と仮定します。
まず、（ab）を計算します。
[
ab = \ begin {pmatrix} 1＆0 \ 0＆2 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 3＆0 \ 0＆4 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 \ times3 + 0 \ times0＆1 \ times0 + 0 \ times4 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 2 \ times4 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 3＆0 \ 0＆8 \ end {pmatrix}
]
次に、（BA）を計算します。
[
ba = \ begin {pmatrix} 3＆0 \ 0＆4 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1＆0 \ 0＆2 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 3 \ Times1 +0 \ Times0＆3 \ Times0 + 0 \ times2 \ 0 \ times1+4 \ times0＆0 \ times0+4 \ times2 \ end2 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 3＆0 \ 0＆8 \ end {pmatrix}
]
次に、comutator（[a、b] = ab -ba）を計算します。
[
[a、b] = \ begin {pmatrix} 3＆0 \ 0＆8 \ end {pmatrix} - \ begin {pmatrix} 3＆0 \ 0＆8 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 0＆0 \ 0＆0 \ end {pmatrix}
]
（[a、b] = 0）ため、（a）および（b）通勤と結論付けることができます。
しかし、より複雑なマトリックスがある場合はどうなりますか？まあ、プロセスは同じですが、計算はもう少し関与する可能性があります。マトリックスの乗算を支援するために、コンピュータープログラムまたは計算機を使用することをお勧めします。
オペレーター
量子力学では、オペレーターは物理的な観測可能性を表すために使用されます。マトリックスと同様に、整流子を使用して、2つのオペレーターが通勤するかどうかを判断できます。
2つの演算子（\ hat {a}）と（\ hat {b}）があるとしましょう。彼らが通勤するかどうかを調べるために、（[\ hat {a}、\ hat {b}] = \ hat {a} \ hat {b} - \ hat {b} \ hat {a}）を計算します。
たとえば、位置演算子（\ hat {x}）と運動量演算子（\ hat {p}）を考慮してください。 commutator（[\ hat {x}、\ hat {p}] = i \ hbar）、ここで（i）は虚数単位であり、（\ hbar）はプランクの定数を減らします。 （[\ hat {x}、\ hat {p}] \ neq0）ため、位置と運動量が通勤しないことがわかっています。
これには、量子力学において非常に重要な意味があります。つまり、粒子の位置と運動量を任意の精度で同時に測定できないことを意味します。これは、ハイゼンベルクの不確実性の原則として知られています。
グループ要素
グループ理論では、整流子を使用して、2つのグループ要素が通勤するかどうかを判断することもできます。 （g）をグループとし、（a）と（b）と（g）の2つの要素とします。 （a）および（b）の整流子は（[a、b] = a^{ - 1} b^{-1} ab）として定義されます。
if（[a、b] = e）、ここで、（e）はグループのアイデンティティ要素であり、（a）および（b）通勤します。理由を確認するために、（[a、b] = e）を（a^{-1} b^{-1} ab = e）と書き直すことができます。左側の両側に（a）を掛け、右側（b）を掛けて、（ba = ab）を取得します。
たとえば、追加中の整数（\ mathbb {z}）のグループを考えてください。 （a）と（b）を2つの整数とします。整流子（[a、b] =（ - a）+（ - b）+a+b = 0）。 （0）は追加下にある（\ mathbb {z}）のアイデンティティ要素であるため、2つの整数が通勤することがわかっています。
2つの要素が通勤するかどうかを知ることが重要なのはなぜですか？
2つの要素が通勤するかどうかを知ることは、いくつかの非常に重要な結果をもたらす可能性があります。量子力学では、以前に見たように、非通勤オペレーターは不確実性の原則につながります。マトリックス理論では、通勤行列にはいくつかの素晴らしい特性があります。たとえば、2つのマトリックス（a）と（b）が通勤する場合、それらは同時に対角化可能です。
グループ理論では、グループ内のすべての整流子のセットは、computatorサブグループと呼ばれるサブグループを生成します。整流子サブグループの構造は、グループ自体について多くを伝えることができます。
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参照
- ホール、マーシャル。グループの理論。マクミラン、1959年。
- Sakurai、JJ、Napolitano、Jim J. Modern Quantum Mechanics。アディソン - ウェスリー、2011年。
- ストラング、ギルバート。線形代数とそのアプリケーション。 Cengage Learning、2012年。