グループの直接産物における2つの要素の整理者を計算することは、物理学、エンジニアリング、コンピューターサイエンスを含むさまざまな分野の幅広いアプリケーションを持つグループ理論の基本的な概念です。整流子サプライヤーとして、私は整理者の理論的側面とその実際的な重要性に精通しています。このブログでは、グループの直接産物で2つの要素の整流子を計算するプロセスを案内します。
基本を理解する
計算を掘り下げる前に、まずいくつかの重要な概念を明確にしましょう。グループ（g）は、4つの公理を満たすバイナリ操作（\ CDOT）を装備したセットです。閉鎖、連想、アイデンティティ要素の存在、および各要素の逆の存在です。 （g_1 \ times g_2）として示される2つのグループ（G_1）と（G_2）の直接積は、要素がペア（（g_1、g_2）））である新しいグループです。 （g_1 \ times g_2）のグループ操作は、定義されたコンポーネント-wise：（（g_1、g_2）\ cdot（h_1、h_2）=（g_1 \ cdot h_1、g_2 \ cdot h_2）=（g_1、g_2）、（h_1、h_2）\ in g_1 \ times g_2）\
グループ内の2つの要素（a）および（b）の整流子は（[a、b] = a^{-1} b^{-1} ab）と定義されます。整流子は、グループがアベリア人（通勤）からどれだけ離れているかを測定します。すべて（a、b \ in g）の（[a、b] = e）（グループのアイデンティティ要素）の場合、グループ（g）はアベルです。
グループの直接製品で整流子を計算します
（g = g_1 \ times g_2）を2つのグループ（g_1）と（g_2）の直接積とし、（x =（x_1、x_2））と（y =（y_1、y_2）とします。
まず、（x）と（y）の逆を見つける必要があります。 （g = g_1 \ times g_2）の（x =（x_1、x_2））の逆数は（x^{ - 1} =（x_1^{-1}、x_2^{-1}））frong（x_1、x_2）\ cdot（x_1^{-1}、x_2^{-1 \ x_1^{-1}、x_2 \ cdot x_2^{-1}）=（e_1、e_2））、（e_1）と（e_2）はそれぞれ（g_1）と（g_2）の同一要素です。同様に、（y^{ - 1} =（y_1^{-1}、y_2^{-1}））。
これで、comutator（[x、y]）を計算できます。
[
\ begin {align*}
[x、y]＆= x^{ - 1} y^{ - 1} xy \
＆=（x_1^{ - 1}、x_2^{-1}）\ cdot（y_1^{ - 1}、y_2^{ - 1}）\ cdot（x_1、x_2）\ cdot（y_1、y_2）\
＆=（x_1^{ - 1} y_1^{-1} x_1y_1、x_2^{ - 1} y_2^{ - 1} x_2y_2）\
＆=（[x_1、y_1]、[x_2、y_2]）
\ end {align*}
]
この結果は、2つのグループの直接積にある2つの要素の整理者が、賢明なコンポーネントを計算できることを示しています。つまり、（g_1 \ times g_2）の2つの要素の整理者は、最初のコンポーネントが（g_1）の元の要素の最初のコンポーネントの整流子であり、2番目のコンポーネントは（G_2）の元の要素の2番目のコンポーネントの整理者です。
複数のグループの直接製品への一般化
上記の結果は、（n）グループ（g = g_1 \ times g_2 \ times \ cdots \ times g_n）の直接積に簡単に一般化できます。 （x =（x_1、x_2、\ cdots、x_n））と（y =（y_1、y_2、\ cdots、y_n）とします。次に、整流子（[x、y]）は（[x、y] =（[x_1、y_1]、[x_2、y_2]、\ cdots、[x_n、y_n]）によって与えられます。
例
例1：2つの環状グループの直接製品
（g_1 = \ mathbb {z} _3 = {0,1,2}）追加モジュロ3および（g_2 = \ mathbb {z} _4 = {0,1,2,3}）追加モジュロ4の下で、（x =（1,2））および（y =（y =（2,3））
（\ mathbb {z} _3）、（x_1 = 1）、（y_1 = 2）、（x_1^{-1} = 2）（1 + 2 \ equiv0 \ pmod {3}）、（y_1^{-1} = 1）（2 + 1 \ equiv0 \ pmod {3}） [[x_1]、y_1] = x_1^{ - 1} + y_1^{ - 1} + x_1 + y_1 = 2 + 1 + 1 + 2 \ equiv2 \ pmod {3}）。
（\ mathbb {z} _4）、（x_2 = 2）、（y_2 = 3）、（x_2^{ - 1} = 2）（（2 + 2 \ equiv0 \ pmod {4}）、（y_2^{-1} = 1）（（3 + 1 \ equiv0 \ pmod {4}）） [[x_2]、y_2] = x_2^{ - 1} + y_2^{ - 1} + x_2 + y_2 = 2 + 1 + 2 + 3 \ equiv2 \ pmod {4}）。
したがって、（[x、y] =（2,2））in（g_1 \ times g_2）。
例2：対称グループと二面グループの直接製品
let（g_1 = s_3）（程度3の対称グループ）および（g_2 = d_4）（注文8の二面グループ）。 （x =（（12）、r））および（y =（（13）、s））で（（12））と（（13））が（s_3）、（r）が（d_4）の回転であり、（s）が（d_4）の反射であると仮定します。
（s_3）で、（[（12）、（13）] =（12）^{ - 1}（13）^{ - 1}（12）（13）=（12）（13）（12）（13）=（132））を計算します。
（d_4）で、（[r、s] = r^{ - 1} s^{-1} rs）を計算します。 （D_4）のグループテーブルがわかっている場合、特定の要素を見つけることができます。 （[x、y] =（（132）、[r、s]））in（g_1 \ times g_2）。
アプリケーションと市場における整理者の役割
カンテーターは、特にDCモーターと発電機に電気工学に多数の用途を持っています。 DCモーターでは、整流子は、アーマチュア巻きで誘導される交互の電流を直接電流に変換する機械的整流器です。これにより、モーターによって生成されるトルクが同じ方向にあることが保証され、モーターが連続的に回転できるようになります。
整流子サプライヤーとして、これらのアプリケーションにおける高品質の整流子の重要性を理解しています。私たちの整理者は、最も厳格な業界基準を満たすように設計されており、信頼できるパフォーマンスと長期耐久性を確保しています。あなたは当社のウェブサイトで私たちの整流子に関する詳細情報を見つけることができます整流子。
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参照
- Dummit、DS、およびFoote、RM（2004）。抽象代数。ジョン・ワイリー＆サンズ。
- Herstein、In（1975）。代数のトピック。ワイリーインド。
- Long、S。（2002）。代数。スプリンガー。